1.5 电磁场的能量与坡印廷矢量[6],[7],[17],[18]

根据麦克斯韦方程组

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用H点乘式（1.5-1a）两边得

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用E点乘式（1.5-1b）两边得

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式（1.5-2）与式（1.5-3）相减得

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根据矢量运算公式，上式左侧为

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故有

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引入坡印廷矢量S，其定义为

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S也称为能流密度矢量，表示单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的电磁场能量。另外

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令

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we与wm 分别为电场能量密度和磁场能量密度。式（1.5-10）与式（1.5-11）之和为

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w为电磁场能量密度，于是式（1.5-6）可写为

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将上式在所考虑的体积V中进行积分可得

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或

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上式第一项为坡印廷矢量的面积分，表示单位时间内流出包围所考虑体积V的封闭曲面Σ的电磁场能量。上式第二项W为w在体积V中的积分，dW/dt表示单位时间内体积V中电磁场能量的增量。下面讨论第三项的意义。有非静电力K存在时的欧姆定律为

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其中，σ为电导率，ρR为电阻率（注意区别于麦克斯韦方程组中的电荷密度ρ）。这样得到

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为了更清楚地看出上式的含义，选择一个截面积为ΔΣ、长为ΔL的电流管，如图1.5-1所示，则

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图1.5-1 电流管示意图

式（1.5-18）中，I为流过所考虑的电流管的电流，R为该电流管的电阻，Δε为非静电力产生的电动势。显然，式（1.5-18）最后一个等号右边第一项表示单位时间内，所考虑空间内所产生的焦耳热损耗Q=I2R，第二项表示单位时间内非静电力所做的功P=IΔε。

将式（1.5-18）代入式（1.5-15）得到

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或者

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即单位时间内体积V中电磁场能量的增量等于单位时间内非静电力所做的功P减去单位时间内从表面Σ流出的电磁场能量（坡印廷矢量的面积分）和单位时间内的焦耳热损耗Q。这就是电磁场的能量守恒定律。式（1.5-20）为电磁场的能量守恒定律的数学表述，称为坡印廷定理。式（1.5-13）为坡印廷定理的微分形式。

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