3.1　极限与连续性

极限是微积分的基本概念，函数的连续性、导数及定积分等很多概念都是用极限来定义的。在解决求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题时，正是由于采用了极限的“无限逼近”的思想方法，才能够得到精确的计算结果。连续函数是微积分研究的主要对象，人工智能学科中的函数，只要不是特别说明，一般都指连续函数。

3.1.1　极限

根据函数自变量的变化方式的不同，函数极限可分为自变量趋近无穷值和自变量趋近有限值两类，共计如下六种表现形式：

这些极限虽然形式不同，但思想是一样的，都是讨论随变量x的变化，变量y的变化趋势的问题。其中，自变量x的六种变化方式的含义如下：

的绝对值无限增大；

从某个时刻后，始终小于零且无限增大；

从某个时刻后，始终大于零且无限增大；

，且与的距离

且与的距离

且与的距离。

下面只给出和时函数极限的定义，左极限和右极限的定义可类似给出。

1.时函数极限的定义

设在的某个去心邻域内有定义，是一个常数，对于任意给定的（无论多小），存在正数，使得当时，成立，则称当时，函数的极限为。记为或（）。

其几何意义：对于任意给定的正数，存在点的某个去心邻域，当落在此去心邻域内时，曲线上的点都位于与之间的区域，即保持局部范围的有界性，如图3-1所示。

从图3-1可以看出，其包含两侧的趋势，有如下定理：

的充分必要条件是，且。

2.时函数极限的定义

对于任意给定的，，使当时，有，则称当时函数的极限为，记为。

其几何意义：对于给定的，必定存在，当时，曲线上的点都位于与之间区域，如图3-2所示。

从图3-2可以看出，其包含两侧的趋势，有如下定理：

的充分必要条件是，且。

例3-1　求和，并绘制函数曲线。

解：可利用Python包SymPy中的limit函数来求函数极限，并利用plot函数绘制函数曲线。具体程序如下：

输出计算结果如下：

输出函数sin(x)/x的图形如图3-3所示。

3.1.2　连续性

设函数在点及其附近有定义，给一改变量，函数的改变量。若或，则称在点处连续。

上述定义也可以用来定义。

考虑到左右侧的连续性，同极限一样，函数在某点左右侧连续与在该点连续间存在关系，即函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续。

函数在内连续是指在内任一点处都连续；在上连续是指函数在开区间内连续，且在处右连续和在处左连续。

基本初等函数在其定义区间（定义区间指包含在定义域内的区间）内是连续的，而连续函数进行初等运算后所得的函数仍然保持连续性，所以初等函数在其定义区间内是连续的。