1.7 运动方程

运动方程实质是动量守恒定律的数学表达式，是流体系统应用牛顿第二定律的结果，即特征体元中运动流体的动量变化率等于所有有效的作用外力总和

式中:u为流体质点运动速度；F为各种质量力（与质量大小相关的力）；σ为各种表面力（与表面积大小相关的力）。

在流体力学中，称式（1.34）为纳维-斯托克斯方程或动量定理。纳维-斯托克斯方程是非线性的，加之渗流通道复杂而未知，不能原版原样地应用它来解决地下渗流问题，必须辅以如体元平均、层流、忽略惯性、流体不可压缩等假设（Hubbert，1956；Irmay，1958），由此得到的简化结果正是达西线性渗流规律。

1.7.1 线性渗流定律

1.达西定律试验

针对城市用水过滤净化问题，法国Dijon市水利工程师达西做了关于水通过直立填砂圆管的试验，得到了渗流力学最基础的定律，即达西定律。达西定律试验的装置见图1.5。

试验结果表明，在一定速度变化范围内，流体通过填砂管横截面的体积流量（Q）与横截面积（A）成正比，与管长（L）成反比，与作用在填砂管两端的水头差（ΔH=h₁-h₂）成正比。用公式表示为

式中:K′为水力传导系数，也称渗透系数。

根据水力学的伯努利方程，单位质量流体的位置势能、压强势能和动能三者之和为常数

水力学中称H为Hubbert流体势，也叫总水头（Hubbert，1940）。由于渗流速度小而忽略动能项后作差，有

量纲分析表明：水力传导系数K′与流体重度成正比，与黏度成反比，于是有，

式中：κ为渗透率。

考虑式（1.39）关系后，式（1.38）可改写为

式(1.40)中，负号是考虑到速度方向与压力增长方向相反而加入的。对于倾斜介质情况，有

式中:θ为介质与水平方向的夹角。

2.达西定律表述形式

达西定律表达形式有3种，分述如下：

（1）流量表达式

（2）微分表达式

（3）矢量表达式

式中：▽为汉密尔顿算子，它具有矢量和微分的双重性质，读为Nabla。

达西定律单位：在工程单位制中，达西定律的速度表达式为

其中：v单位为cm/s， κ单位为D，p单位为atm，μ单位为cP，L单位为m。

在SI单位制中，达西定律速度表达式为

其中：v单位为cm/s，κ单位为μm²，p单位为MPa，μ单位为mPa·s，L单位为m。

3.达西定律类比

渗流力学中的达西定律和热传导中的傅里叶传热定律、电学中的电流定律极其类似，以流量表达式为例

式中:Q_T为热量；k_T导热系数；T为温度；Q_E为电流强度；ρ_E为电阻率；E为电压；L为传导距离。

渗流物理试验是深入研究复杂渗流现象的重要手段，实际上渗流物理试验模型常常是笨重而庞大的，造价昂贵。然而，根据相似性可以通过对电流或热流的试验研究来直观地理解许多关于多孔介质中的渗流现象。因此，有时可以简单地制造一些传热或导电的实验模型，借助于电流或热流之间的相似性，经济地获得一些定量的结果。

1.7.2 各向异性渗流定律

一般来说岩石不是各向同性的，而是各向异性的，即渗透率与方向有关。例如层理构造明显的岩石，顺层理方向渗透性好而垂直方向则差，其差别可以是几倍甚至几十倍。对于各向异性岩石，达西定律仅在局部成立。

渗透率是多孔介质允许流体通过能力的量度，按照达西定律它又是渗透速度矢量与压力梯度矢量（忽略重力）之间的“比例系数”，这个“比例系数”是一个二阶张量，即渗透率张量。渗透率张量可以是一个二阶对称张量（κ_xy=κ_xy=κ_yz=κ_zy=κ_xz=κ_zx）。在忽略重力条件下，使用渗透率张量表示的达西定律为

其中，张量分量中双下标的前者表示流体流动方向，后者为压力梯度方向。式（1.49）的分量形式为

式（1.50）表明，在空间各向异性条件下，存在压力梯度与渗流速度不共线的现象。在某主轴方向上的压力梯度既与该主轴方向压力梯度有关又与其他两主轴方向上的压力梯度有关，这一观点可以用平面渗流示例说明。如图1.6所示，若（x，y）平面上有一根与横轴成夹角θ的渗流毛管，压力梯度∂p/∂y使得毛管中的流体以渗流速度v_θy运动，显然，v_θy具有横轴方向上的分量v_xy，它可被理解为∂p/∂y对横轴方向上渗流速度v_x（v_x=v_xx+v_xy+v_xz）的贡献。

对于一种客观存在的多孔介质，渗透率张量和一定压力梯度下的渗流速度矢量是一定的，但张量和矢量的分量会随坐标轴的取向而相对变化。例如一个固定的渗流速度矢量v，如果坐标轴的取向与它的方向一致，则v_x=|v|,v_y=v_z=0。同理，如果旋转坐标轴到某个合适的方向，使得κ_xy=κ_xy=κ_yz=κ_zy=κ_xz=κ_zx=0，则渗透张量将变化为对角张量

于是，式（1.50）可简化为

这时，x、y、z方向称为渗透率张量的主轴方向，κ_xx、κ_yy、κ_zz称为主轴渗透率，通常只保留单下标。

1.7.3 圆管渗流定律

根据流体力学理论，以剪应力与剪切速率的关系为基础，研究圆管内层流流速分布、流量与压降之间的关系。如图1.7所示，取圆柱形小体元，在层流运动时其作用力在流轴方向投影为零，作用在体元上的压力（F_p）、摩擦阻力（F_s）及重力（F_G）在流轴上的分量分别为

根据受力平衡条件F_p+F_G=F_s，有

对于牛顿流体，其运动服从牛顿摩擦定律

联立式（1.54a）和式（1.54b）可得

对式（1.55）积分，得圆管截面内的流体速度分布表达式

当r=r₀，有v=0，即管壁处的流体速度为零。

根据圆管截面内的流体速度分布，通过积分得到通过圆管截面的总流量（Q）和质点平均流速（U）表达式如下。

若截面积为A的岩芯中只贯穿一根圆管连通孔隙，其孔隙截面积为，将达西定律式（1.43）与圆管流量公式（1.57）联立，得到

由此，可得到毛管渗透率表达式

其中，为横截面上孔隙所占据面积与横截面积之比，即孔隙度。式 （1.60）可以推广到多根不等径毛管模型情形。

1.7.4 非线性渗流定律

达西定律有相应的适用条件。当流体渗流服从达西定律时，通过某截面的流量与水力梯度成过原点的直线关系；当流量和水力梯度关系不能用直线关系表示时，这样的渗流过程就是非达西渗流过程，或称非线性渗流。

1.达西流高速上限——雷诺数判断准则

1880年，雷诺.Q通过用不同的圆管做水流流态实验，发现了管中水流形态可分为层流和紊流两种流态。流态可用无量纲雷诺数来判。雷诺数定义如下，

式中：Re为雷诺数；d为圆管直径，m；ρ为流体密度，kg/m³；U为圆管内流体平均速度，m/s；μ为流体黏度,Pa·s。

雷诺数表示了惯性力与黏滞力之比，若惯性力占主导地位，则雷诺数大；若黏滞力占主导地位，则雷诺数小。

对于多孔介质，根据单根毛管渗流定律可得

孔隙介质渗流截面上的渗流速度和真实流速满足D-F关系式，即

将式（1.62）和式（1.63）代入式（1.61），得

式中:v为渗流速度，cm/s；κ为渗透率，D；μ为动力黏度，cP；ρ为流体密度，g/cm³；φ为孔隙度。

在渗流理论中，20世纪20年代巴普诺夫斯基首先提出用雷诺数作为达西定律的应用判断准则。Fancher和Lwewis（1933）利用气体通过各种可渗透的岩芯完成了大量的实验，得到了范宁摩擦系数f与雷诺数（Re）的关系曲线。根据f与Re的关系绘制出一张双对数模式图，见图1.8。

图1.8表明，多孔介质的流动可分为3个区域：层流区、过渡区和紊流区。第一区域，在Re<5范围内是斜率为-1的直线段；第二区域，在5<Re<100范围内有一个二次曲线形式的过渡段；第三段则是一个水平线段。

第一区域为层流区，黏滞力起主要作用，f-Re的双对数直线特征表明有下式成立，

式中：C为回归常数。

范宁摩擦系数f的定义为

利用式（1.54a） 和式（1.63），将之代入式（1.66）,得

将式（1.61） 和式（1.67）代入式（1.65），并利用式（1.60），可得

其中，d=2r₀。

式（1.68）与达西定律表达相同。由此得出结论，在Re<5范围内达西定律是适用的。

第二区域为过渡区，黏性力仍起重要作用，但逐渐减弱至惯性力起主要作用，流动先是层流，其后逐渐变为紊流，其方程为

式（1.69）与Forchheimer（1930）提出的二项式一致。另外，根据Ahmed和Sunada（1969）对多种非固结多孔介质的研究表明，在较高渗流流速下有下列关系式

其中，β为非达西流因子，而n与多孔介质特性有关，n的不同取值决定了指示曲线（渗流速度与压力梯度的关系曲线）的变化特征，见图1.9。

第三区域为紊流区，在Re>100的条件下流体流动变为紊流。紊流实际上是一种混沌现象，在渗流力学中较少遇到。

2.低速下限——启动压力梯度

对于低渗透介质或非牛顿宾汉姆流体，渗流定律可写为

式中:λ为启动压力梯度，它由介质的结构特性或流体的性质所决定。

低速渗流情况下，指示曲线见图1.10。在实验室中，低速渗流常常因为速度微小而造成测量方面的困难，因此这一阶段很难准确验证。

3.密度下限——滑脱效应

在气体渗流过程中，低压气体将产生Klinkenberg（1941）效应和分子扩散。用不同的气体测试同一块岩芯的渗透率，渗透率将是平均压力的函数，结果见图1.11。

如图1.11所示，渗透性与压力关系可用下式表述

此时，一维渗流情形下达西定律可写为

因为流体（通常是气体）没有密切接触固体壁面，所以低压气体分子在固体壁面上可以具有一定的非零速度。因此，当气体分子的平均自由程接近于孔道尺寸时，气固界面上的各个分子都将处于运动状态，若与液体渗流相比较，此时气体渗流中便增加了一份附加通量，这正是气体滑脱的实质。

实际工程中产生的非线性过程远比这种复杂。产生非线性渗流的原因可以总结如下：

（1）渗流速度过高、流量过大。

（2）分子效应（气体滑脱）。

（3）离子效应（例如盐水在含有黏土的砂岩中渗流，实验发现渗透率随含盐度或渗流速度的增加而增加，原因是流体中的离子与多孔介质表面相互作用）。

（4）流速过低（低渗透介质）。

（5）非牛顿流体。