2.5　特征函数及其基本性质

本节主要介绍特征函数的定义、特征函数的性质、常用概率密度函数的特征函数、特征函数的应用、中心极限定理、利用特征函数求估计量的概率密度函数等。

2.5.1　一维特征函数

1．特征函数的定义

（1）离散随机序列的特征函数的定义：设一维离散随机序列x(k)∈R1的离散事件概率为P{X=x(k)}=pk，则该离散随机序列的特征函数为

（2）连续随机变量的特征函数的定义：设一维随机变量x∈R1的概率密度函数为f(x)∈R1，则该随机变量的特征函数φx(k) 定义为核函数eikx的期望值。

随机变量x的特征函数的本质是随机变量x的概率密度函数f(x) 的Fourier变换。任何概率密度函数都存在特征函数。

例2.5.1　设随机变量X服从退化分布，即

求该随机变量X的特征函数。

由离散随机序列的特征函数的定义

有

例2.5.2　设随机变量X服从参数为p的0-1分布（两点分布），求其特征函数。

由

可得

例2.5.3　设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，求其特征函数。

由离散随机序列特征函数的定义可得

例2.5.4　设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求其特征函数。

由离散随机序列特征函数的定义可得

例2.5.5　设随机变量X服从[−a,a] 均匀分布，求其特征函数。

服从[−a,a] 均匀分布的随机变量的概率密度函数为

根据连续随机变量特征函数的定义，当t≠0 时，有

当t=0 时

例2.5.6　设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求其特征函数。

根据连续随机变量特征函数的定义，有

2．特征函数与概率密度函数的关系

已知一维随机变量x的概率密度函数f(x) ，人们往往关心其特征值（如均值、方差）。特征值提供了概率密度函数最重要的信息，但不能确定概率密度函数的所有性质。特征函数与概率密度函数是一一对应的。概率密度函数由特征函数的反Fourier变换唯一确定。

也就是说，概率密度函数f(x) 与其特征函数φx(k) 是等价的。

3．特征函数的性质及证明

1）特征函数的性质

（1）φx(0)=1

（2）|φx(k)|≤1

（3）

（4）若y=ax+b，其中a,b为常数，则

（5）独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设x,y独立，则

（6）若E{xl} 存在，则φx(t) 为l次可导，并且对1≤m≤l，有

2）部分特征函数性质的证明

性质（5）：独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设x,y独立，则

证明：由于x与y之间是相互独立的，因此，eikx与eiky之间也是相互独立的，从而有

可以推广到n个独立随机变量之和z=x1+x2+⋯+xn的特征函数，即

本性质（5）证毕。

利用反Fourier变换可求出随机变量z的概率密度函数：

性质（6）：若E{xl} 存在，则φx(t) 为l次可导，并且对1≤m≤l，有

证明：因为E{xl} 存在，所以有。

于是含参数变量k的广义积分

可以对m求l次导数。

所以，对0≤m≤l，有

令k=0 ，即可得到

本性质（6）证毕。

4．常用概率密度函数的特征函数（表2.5.1）

5．特征函数的应用

既然概率密度函数与特征函数是一一对应的，为什么还要引入特征函数呢？这是因为很多问题直接用概率密度函数不易处理，而利用特征函数进行处理就非常方便。

1）求均值和方差（以高斯分布为例）

设正态随机变量x的特征函数为

（1）求取均值。

（2）求取方差。

类似地，可以很容易求出各阶中心矩。

2）求概率密度函数的极限（以二项分布为例）

特征函数为

取极限p→0和N→∞，ν=pN为常数。

即二项分布在实验次数很多且均值保持不变时，趋向于泊松分布。同样可以证明ν很大时，泊松分布趋向于高斯分布。

3）求独立随机变量之和的概率密度函数

假设有两个独立的高斯随机变量x和y，均值为μx和μy，方差为和，则z=x+y的特征函数为

这正是均值μz=μx+μy，方差的高斯分布的特征函数。

同样可证泊松变量之和仍服从泊松分布。

4）中心极限定理

定理2.5.1：假设有n个独立随机变量xj，均值与方差分别为μj和。在大n极限下，为高斯随机变量，均值和方差分别为和。

证明：定义

则有

将yj的特征函数ϕj(k) 进行泰勒展开：

在大n极限下，忽略高阶项，可得

再定义

则z′的特征函数为

即z′为均值为0，方差为σ2/n的高斯分布。变换回，则z为均值为，方差为σ2的高斯分布。

n有限时，中心极限定理成立的条件是每个xj的贡献都很小，即z由大量微小贡献组合而成。

例如，很多地方经常用12个(0,1]均匀分布的随机变量之和来近似高斯分布。

如果某个或某几个xi的贡献非常大，则求和的结果将明显偏离高斯分布。

5）求估计量的概率密度函数

（1）以指数分布

为例。其参数ξ的最大似然估计量为

其分布可以用特征函数法求得。

由于ϕx(k)=1/(1−ikξ) ，所以

的特征函数为

通过反Fourier变换可得到z的概率密度函数：

这是伽马分布，在n很大时趋向于高斯分布。

（2）要求取寿命的平均值，可以采用如下方式：

也可以利用概率密度函数进行积分来求取：

（3）对于λ=1/τ的最大似然估计量，求取其期待值：

可以先求的分布函数：

再用该函数求取期待值：

可以看出不是无偏估计量。

（4）求估计量期待值的置信区间。利用特征函数法求出估计量（如）的概率密度函数。有了估计量的概率密度函数（如），很多问题都可以方便地进行处理，如求取置信区间。

对于给定的α,β以及观测值，通过

求得置信区间[a,b]。

2.5.2　二维随机变量的特征函数

1．定义

连续型：设(X,Y)是一个二维随机变量，其分布函数为F(x,y) ，x,y∈R1t1,t2为任意实数，记

称φ(t1,t2) 为(X,Y)的特征函数。

离散型：

其中，P(r,s)=P{X=r,Y=s} 。

设有n维随机变量

则称

为n维随机变量(X1,X2,⋯,Xn) 的特征函数。

2．二维随机变量特征函数的性质

性质1：设随机变量(X,Y) 的特征函数为φ(t1,t2) ，则有

（1）φ(0,0)=1 ，并且对任意t1,t2∈R，有|φ(t1,t2)|≤φ(0,0)=1 ；

（2）；

（3）φ(t1,t2) 于实平面上一致连续；

（4）φ(t1,0)=φ(t1) ，φ(0,t2)=φ2(t2) 。其中，φ1(t1),φ2(t2) 分别为Ｘ和Ｙ的特征函数。

性质2：设a1,a2,b1,b2皆为常数，(X,Y) 为二维随机变量，则随机变量(a1X+b1,a2Y+b2) 的特征函数为。

性质3：两个二元分布函数恒等的充分必要条件是它们的特征函数恒等。

性质4：设随机变量(X,Y) 的特征函数为φ(t1,t2),a1,a2,b为任意常数，则Z=a1X+ a2Y+b的特征函数为

定理2.5.2：随机变量(X,Y) 服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合

aX+bY+c

服从一维正态分布。其中，a,b,c为任意常数，且a,b不全为0。

3．相互独立随机变量的特征函数

定理2.5.3：n个随机变量相互独立的充分必要条件为(X1,X2,⋯,Xn) 的特征函数满足

推论2.5.1：设X1,X2,⋯,Xn为n个相互独立的随机变量，令，，则Y和Z的特征函数分别为

注：对x,y∈Rn，也有类似描述。