1.3.2 全功能联结词集

蕴涵等价式说明条件联结词→可以用和∨表示。1.1节除了介绍5个主要联结词，还介绍了↑、↓和⊕三个联结词。按照定义有

由此可见，↑、↓和⊕三个联结词可以用联结词、∧和∨表示。

定义1.3.2 设G是一个联结词的集合，若任意一个命题都可用G中的联结词构成的命题公式来表示，则称G为全功能联结词集。如在G中去掉任何一个联结词，就不再具有这种特性，则称其为最小全功能联结词集。

可以证明，、{↑}和{↓}都是全功能联结词集，而、{↑}和{↓}都是最小全功能联结词集。

例1.3.7 证明：{↑}和{↓}是最小全功能联结词集。

证明

故{↑}和{↓}是最小全功能联结词集。

◀

上述等价关系式表明，只用一个↑或↓就可以实现联结词、∧、∨、→、↔表示的逻辑关系。在数字电子技术中，可以用与非门实现↑的逻辑关系，用或非门实现↓的逻辑关系。因此，只用与非门或或非门组成的电路就可以实现任何逻辑运算。与非门和或非门的电路符号如图1.3.3所示。

例1.3.8 用只有一种与非门的逻辑电路实现图1.3.1的逻辑电路的逻辑关系。

解 图1.3.1所示逻辑电路的逻辑表达式为。化简这个公式为只含有与非联结词的逻辑表达式

因此实现该逻辑关系的逻辑电路如图1.3.4所示。