导读（二）

凌复华

上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授

Introduction to Chinese Version

本书的目的是，想方设法找到行星及其运动中可能存在的“和谐比”，以便构建一幅“世界和谐”的图画，有时也不免有些牵强附会。抓住了这条红线，就能拨开云雾见青天，不至于被一大堆数字和音乐术语弄得晕头转向。

一、贯穿本书的红线：寻找行星运动的“和谐比”

开普勒是一位伟大的天文学家，他在中世纪黑暗时期积极宣传哥白尼的日心说并有重大发展。他首先根据第谷的观测数据，得出行星的轨道是椭圆形的，进而得出了行星运动三定律。他还设想所有行星都因来自太阳的力而运动，离太阳越近，力就越大。这是科学史上对天体现象物理原因的第一次科学探索。

《世界的和谐》第三章叙述了行星运动第三定律，但相关内容只占本书篇幅的10%，而剩下的90%，除了天文学，还有大量音乐乐理，充满了音乐术语，有些还是现代音乐家都不一定熟悉的17世纪音乐术语。这些内容，初读时颇有雾里看花，不明就里的感觉。

为了更好地理解本书，我们需要知道，在开普勒时代，教会有很大权威，开普勒自己也毕业于神学院并曾试图成为一个牧师，只是因为他相信哥白尼学说而未能如愿；不过，开普勒始终笃信世界是造物主创造的，认为世界这个极致完美的创造物的主要特征是“和谐”，其中充满了导致悦耳和声的小整数之比。

开普勒不仅是一位一流的天文学家，也是一位颇有造诣的音乐理论家。他殚精竭虑，以他卓越的聪明才智，对第谷在20年中积累的最精确肉眼观测数据，进行了多年的不懈研究，试图证明在六颗行星及其运动中存在着“和谐比”。

开普勒首先想到的是五种正多面体。当时只知道六颗行星，把五种正多面体按照一定次序镶嵌在六颗行星的轨道天球（以近似的圆形轨道为大圆的球）之中，似乎是一个很好的选择。从第二章开始，他就在这个方向探索，以后又多次尝试，但收效甚微；最后，他在第九章的表9.4中作了总结，其实宣告了这条路未能走通。

从第三章开始，开普勒试图在行星运动中寻找“和谐比”。他用各种方案做了大量计算，反复试错，最后发现在行星的极端（远日和近日）运动之间，可以找到许多“和谐比”。

总之，本书的目的是，想方设法找到行星及其运动中可能存在的“和谐比”，以便构建一幅“世界和谐”的图画，有时也不免有些牵强附会。抓住了这条红线，就能拨开云雾见青天，不至于被一大堆数字和音乐术语弄得晕头转向。至于这一大堆数字，细心的读者可以发现，本书用到的观测数据主要有五组（周期，远日点处的距离和周日运动，近日点的距离和周日运动）共三十个，搞清楚它们的来龙去脉，对理解本书有很大的帮助。

从现代科学观点看来，开普勒对和谐性的追求只是一个铺垫，他对人类的巨大贡献，是在他著作中只占很小篇幅，简直像是一笔带过的行星运动三定律。不过正是那些长篇累牍的计算和论证，为行星运动三定律做了“嫁衣裳”。

二、本书各章主要内容

《世界的和谐》头绪众多，言语较为晦涩，牵涉到不少虽不复杂却相当烦琐的数字计算。译者为了读懂本书，查阅了不少资料，也做了推导和计算，其结果在相应章节中以“注”的方式给出。阅读本书必备的基本乐理、天文学和多面体方面的知识，则在本《导读》后面提供。译者还把书中的图表统一编号，以便征引。规则是，正文中的图表按章编号，如图1.1、表3.1等。本《导读》中的图表用阿拉伯数字顺序编号，如表1、图1等。

第一章

引入了五种正多面体及它们在世界上的次序，按照六颗行星与太阳的距离，很自然地得到后面经常用到的镶嵌关系：

土星-立方体-木星-四面体-火星-八面体-地球-十二面体-金星-二十面体-水星

开普勒把多面体按照不同方式分类。第一种方式根据多面角由几个面构成，三个面时为原生多面体：立方体、四面体和二十面体，多于三个面时为次生多面体：八面体和十二面体。他又把多面体配成两对，一对是立方体和八面体，另一对是十二面体与二十面体，其根据是同一对中两个多面体的角顶数与面数正好可以互换，因此可以把八面体内接于立方体中，把二十面体内接于十二面体中。他称立方体和十二面体为阳性的，八面体和二十面体为阴性的。剩下的四面体的角顶数与面数相同，称为中性的或雌雄同体。

本书中经常用到单个和成对多面体的内切球与外接球直径比，多面体的几何性质可见后文的表10。由表10容易看出，对四面体这个比是1: 3≈0.3333，对立方体和八面体这个比都是1: ≈0.5773，对十二面体和二十面体约是0.7946。另外也不难算出对立方体-八面体组合是2: 3≈0.6667，十二面体-二十面体组合约是0.6314。

第二章

叙述了正多面体各种元素之间可能出现和谐比（也就是小整数之比）的四种关系。比值中的项与3,4,5有关，来自多面体及其构成面体的正多边形的各种几何特征，如边数，角顶数、多面角的线数等，这构成了前三种关系。第四种关系就是多面体内切球与外接球的直径比。

第三章

概要说明了需要的天文学知识，包含了本书最有价值的内容：提出了行星运动第三定律。译者把本章各段的要点列于表1中。

本章一开始就强调，只有哥白尼日心说正确地描述了太阳系中的运动，托勒密的地心说是不正确的，但第谷的日-地心说（即五大行星围绕太阳转，太阳围绕地球转）可以与日心说兼容。表1中的第一和第二款阐释了日心说的精髓及他发现的椭圆轨道。第三和第四款引入了正多面体来处理行星轨道。第五和第六款引入了真太阳和平太阳概念及其与周日弧之间的关系。第七款强调了观测数据必须转换到以太阳为中心。

第八款开始直接与行星运动第三定律相关。开普勒在第八款中声情并茂地描写了第三定律发现的经过，其艰难历程和最终的极度喜悦都跃然纸上，令人感慨。注意行星运动第三定律是作为一条经验定律发现的，后来牛顿给出了严格的数学证明（后文给出）。其后各款是与第三定律相关的一些概念和推出的结果，其中第十三款有较多数学推导。

第四章

除了多面体镶嵌，开普勒也试图从行星的其他参数中寻找和谐比。开普勒拥有第谷留下的大量观测数据，从而有极大优势，因为这些数据被公认为当时（望远镜发明以前）最丰富也最精确的肉眼观测数据，精度高达1'，比前人的差不多高一个数量级。这些数据可以分为：（1）行星的公转周期；（2）行星到太阳的相对距离；1（3）行星一天内在轨道上经过的距离，即所谓周日运动，此外还有行星的尺寸大小。从和谐的角度，最后一个参数首先被排除，然后周期和行星间距离也被否定，但相邻行星的极端距离（极端指远日和近日）显示了和谐的征兆。开普勒认为和谐应该更多与行星的运动而不是与行星间的距离相关，称同一颗行星的两个极端周日运动之比为固有比，并认为两颗相邻行星的两个不同极端周日运动之间最可能有和谐比。运动的比值在表4.5中列出，与和谐比有一定的接近程度。

第四章表4.1―4.5中的数字结果是本书的重要定量论据。但开普勒在推演过程中采用了一些未予说明的变换，有时还稍微变动原始数据以使得到的比值更接近于和谐比（一般不超过1%，在音乐中是相差20音分，人耳已不能分辨）。而且叙述十分简略，不易读懂。为了帮助读者理解，译者对大多数表都加了附注，说明数字的来龙去脉。这里把要点汇总如下。

表4.1：行星绕日运动周期和周日运动。原始数据是行星的运动周期，以一年365天和一圈360°算出平均周日运动，以60进制的日（以及日分），度（以及分、秒、1/60秒）为单位。

表4.2：行星绕日运动周期约化到一个八度中。原始数据是行星的运动周期，用加倍和减半运算约化到端点值之比为2的区间中，这里的区间约为[350,700]。

表4.3：行星的极端距离中是否存在和谐比。原始数据是行星在拱点的极端距离（即远日距和近日距），考察极端距离之间是否存在和谐比。

表4.4：行星在拱点的周日行程。原始数据是行星在拱点的周日运动（弧的度数）和行星到太阳的平均距离，把前者除以后者算出真周日行程。

表4.5：行星的视极端运动之间的比。原始数据是周日运动（弧的度数），转换得到行星在拱点的视周日运动（弧度），转换时考虑了太阳不在轨道的中心，而在椭圆轨道的一个焦点上（真太阳）。于是，远日距为a(1+e)，近日距为a(1-e)，其中a是半长轴，e是偏心率。由此可知转换因子对近日点是(1+e)，对远日点是(1-e)。然后考察了这些运动之间的和谐性。

从以上分析可以看出，开普勒应用的原始数据主要有三类共30个数字，即表4.1中的行星运动周期，表4.3中的远日距和近日距，以及表4.4中的远日和近日周日运动。

第五章到第八章的篇幅都很短，其中把极端运动与音乐中的一些元素进行了比对。

第五章

把行星的极端运动安排在音阶里，有硬类型的和软类型的。

第六章

涉及运动对应的调或调式，参见本《导读》的图4。

第七章

涉及硬类型和软类型的普遍和声。

第八章

认为土星和木星有男低音的特征。火星：男高音；地球和金星：女低音；水星：女高音。

第九章

本章篇幅较长，共有49个条目，先验理由17条（其中公理4条，命题13条），后验理由32条（其中公理5条，命题25条，推论和结语各1条）。前者主要关于和谐比，后者主要关于和声。本章内容提要见表2。先验理由中的三条公理（1,2,3）总结了本章，其实也是本书的主要内容：处处有和谐、五个正多面体镶嵌在六个行星轨道天球中，以及行星轨道皆有偏心率。先验理由中还有一条公理10指出上方行星固有比更重要，剩下的其他命题皆论述行星之间的和谐性。后验理由中前四条是公理（18-21），涉及普遍和声的来源、存在范围，以及普遍和声的两种类型和存在性，随后23条命题（22-43,45）讨论了可能出现的各种和声，推论44指出有关普遍和声结果的理由都是先验的。公理46再次指出多面体内外球与行星轨道可能的关系，命题48就这一点进行了进一步的讨论。命题48显示了许多计算结果，其中最重要的是表9.1中的偏心率。各表中原始数据的来源及计算已在正文的译者注中详细列出，现将其要点叙述如下。

表9.1：行星轨道偏心率的推导。根据行星在拱点的极端距离（即远日距和近日距）计算得到。

表9.2：行星视运动中的和谐比。原始数据是行星在拱点的极端距离（即远日距和近日距），然后考察极端距离之间是否存在和谐比。

表9.3：根据第三定律由周期计算行星的极端距离。其结果与实测结果高度符合。

表9.4：由多面体内外球得到的天球半径及其与实测数据之比较，结论是这种设想与实际情况不甚相符。

三、相关乐理知识

记谱法

1(do),2 (re),3(mi),4 (fa),5 (so),6 (la),7(xi),，是用简谱演唱的音阶，其中对应的振动频率是do的两倍，它们覆盖了一个八度。用音名记为CDEFGABC'。

在这些音中，E与F及B与C’之间相隔半音，其他各个音之间都相隔全音。使用升号（#）例如#F表示比F高半音和降号（b）例如bA表示比A低半音，等等，此外还有重升号（）和重降号（bb）。所有这些升降号都在一个小节内有效，并可以用还原号（）取消。两个音高之间的差（音程）常用音分=1200 log2（两个音高的频率之比）来度量，显然八度的音分是1200 log2（2: 1）=1200。

音名后加一个数字表示它在不同的音域或频域中，音名后面的数字加1表示升一个八度，频率加倍，音名后面的数字减1表示降一个八度，频率减半。例如小提琴四根弦的空弦音为G3,D4,A4,E5，钢琴的音域为A0至C8。乐曲一般用五线谱写出，各种谱表见图1，其中的C4常称为中央C。

音律

早在公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯就指出，两根弦的长度之比为小整数时，它们同时发出的音很好听，弦长比是频率比的倒数。

最简单的整数比是1:2，接下来分别是2:3和3:4，于是毕达哥拉斯以C为主音先定出四个音：F:C=4:3,G:C=3:2，高八度C':C=2:1，然后他把F与G之比9:8作为一个全音的量度，按照9:8之比插入D,E,A,B，这样就得到了所谓五度相生律（Pythagorean tuning），如表3所示。

注意两个音高之间的音程差也常用音分=1200 log2（频率比）来表示。E与F之比及B与C’之比是256: 243=1.05350，其音分（90）差不多是9: 8=1.125的音分（204）的一半，毕达哥拉斯把这种音程间隔叫作半音。但是例如在C与D之间插入 bD，一般取它的音分为90，于是从 bD到D的半音的音分是114，二者略有不同。

这种音律也可以用另一种方式实现：由主音出发，将频率比为3:2的纯五度音程（702音分）作为生律要素，分别向主音两侧同时生音。例如取C为主音，那么按照这个原理向上可生出G,D,A,E,B，向下可生出bF,bB,bE,bA,bD,bG，这样就产生了一个八度之内的十二个音，这就是“五度相生律”名称的来源。

几乎同时或稍后，在中国也定出并开始使用相同的音律。

五度相生律也可以看作是纯律（just intonation）的一种特殊情况——三极限纯律（3-limit tuning）。如果除了纯五度外也应用大三度（4: 5,386音分，见p.41的表6），那么将得到五极限纯律（5-limit tuning），中文文献中所说的纯律若无特别说明，即默指五极限纯律，它也是本书中使用的音律。其实纯律还有许多其他种，但应用较少，这里不予细述了。

但无论哪一种纯律都有一个问题，那就是变调（音高移位）后的旋律不尽相同，于是有人提出了所谓十二平均律，即取2的12次方根1.05946，为相隔半音的两个音的频率比，或半音的音分恒为100。

十二平均律最早由中国明朝皇族朱载堉提出，但并未在中国推广使用。1636年，法国数学家梅森（P. M. Mersenne）在《谐声通论》中，发表了相似的理论。特别是经过18世纪大作曲家巴赫（J. S. Bach,1685—1750）的大力推广，十二平均律已成为钢琴和其他固定音高乐器的标准。但对管弦乐器，还是纯律和十二平均律兼用。不过这些音律中对应的音高相差甚微，一般人的耳朵不会感觉有什么不同。图2显示了三种音律中半音的音分。

至于音高的定位，现代都用A4为440赫兹作为基准。这个A4就是小提琴A弦的空弦音。六十多年前笔者在大学交响乐队时使用定音笛，更专业地使用音叉，也用已正确调音的钢琴。现在当然有许多频率仪可用，但交响乐队演出前的定音，一般以双簧管的A音为基准。

和声

开普勒毕生探索世界的和谐，其实就是寻找行星的某些参数之比是否与好听（协和）的音程相对应。因此，我们需要知道哪些音程是协和的，而这只能通过听者的感受来判断，大量受试者的反馈见图3，总结在表4中。从中可以看出，除非比的前后项都是数字1,2,3,4,5,6,8之一，否则不可能得到和谐比。

这里的大三度与小三度音程之差是一个半音，大小六度和大小七度也是如此，当然它们产生的乐感也不同。大调与小调之间有更多差别。首先，大小调的主音不同，用固定唱名法大调的主音听起来是“do”，小调的主音听起来是“la”（若用首调唱名法，两者的主音听起来都是“do”）。其次，它们的色彩不同，大调一般明朗开阔，小调一般柔和暗淡。另外，大小调每个又各有自然、和声和旋律三种音阶。每种音阶的音级都有些不同，见表5。

第七章中还提到了对位，这是一种常用的作曲技巧。通俗地说，它就好像对话一样，主题在一个声部出现后又呈现于别的声部中（但可能有微小变化）。在对位法中，最重要的就是模仿，旋律的模仿，和声的模仿。对位法是复调音乐的基础。

以上是阅读本书需要用到的一些乐理知识。如前所述，本书试图把音程与天体运动中的参数（主要是周日视弧长）类比，从中寻找世界的和谐，因此一般读者只需知道这些术语及其定义就可以了，若有兴趣深究，请参看本导读末尾的参考文献[8]。

开普勒在17世纪初写作本书时，对乐理知识用到了一些不同的表述，现择要说明如下。

1．当时的五线谱谱号不全相同，有时还用三线谱。好在音乐家卡特（E. Carter Jr.）在瓦里斯的英文版[1]中已把旧记谱法翻译成现代记谱法，以方便阅读。

2．开普勒时代只有硬调和软调，没有大调和小调。开普勒书中拉丁语原文用的是genus durum和genus molle，其中genus的意思是“属”,durum是“硬”（hard）, molle是“软”（soft）。我们按邓肯（A. M. Duncan）等人的英译本[2]，使用硬调、软调、硬三度、软三度等相关术语。大调和小调的音阶已在表5中列出，硬调和软调的音阶如表6所示，硬调为GABCDEF或GABCDE#F，软调为GAbBCDEbF或GAbBCDbEF。注意，在瓦里斯（C. G. Wallis）的英译本［1］中，他把硬调、软调分别译成大调、小调。

3．本书第六章提到了不同的调式或调（musical modes or tones），其音阶列表如图4（取自原书第三卷第十四章）。我们知道，调指音阶的主音，调性指硬软调（或大小调），调式是调与调性的合称，例如常见的C大调、A小调，等等。其实图4中的调性没有变化，只是主音不同，因此事实上只是不同的调。

4．本书中用到许多不同的音程，其中最小的“音差”的音分为21.5，人耳一般已不能分辨。表6列出了各种音程及相应参数。注意，古代习惯使用弦长（正比于波长）之比，与现在使用的频率之比正好互为倒数。但比值总是取大项除以小项，因此比值恒大于1。

5．如上所述，现在一般把不同八度中的音记为A0,B0,……,A1,B1,……,A2, B 2 ,……,A 3 ,B 3 ,……，但本书中则常用A ,B ,……,a ,b ,……,a 2（aa ）,b 2（ bb ）,……, a3,b3,……。

四、相关天文学知识

（一）太阳系中的运动

天文学开始于古人对星空的观测。在望远镜发明以前，人们只能借助肉眼。开普勒正处于望远镜被发明并用于天文学观测的时代，2但他的数据，主要是被誉为最伟大肉眼观测天文学家第谷积累的（开普勒本人有眼疾，不长于观测）。那时能看到的只有恒星、五大行星（金星、木星、水星、火星、土星）和月球。本书主要讨论对行星（及月球）速度的观测和分析，不涉及物理性质，更不涉及太阳系乃至宇宙的起源和演化等天体物理学问题。因此，本书用到的天文学知识相对比较简单。

尽管如此，但是对于太阳系中的运动的理解，还是经历了一个漫长的历程。现在提起太阳系，大家脑海中常会出现图5中的画面，太阳在中心，八大行星3个头有大有小，有的还被卫星4或光环围绕。它们的运行轨道是椭圆形的，以太阳为一个焦点，依次相套且略有倾斜。如果身处太阳系外很远处，又有极佳的视力，看到这样一幅图景是十分自然的。问题是我们身处其中，视力又十分有限，必须根据或多或少的观测资料，凭借分析和想象来构建这样一幅图画，实属不易。

简单回顾一下人们如何逐步到达这样一个系统是有意义的，我们根据《找到我们在太阳系中的位置》[10]，把从古希腊到牛顿时代的重要人物和事件列在表7中。

遥望星空，古人们看到的是满天星斗，每个晚上看到的都略有不同，似乎转动了一个角度。于是毕达哥拉斯认为地球绕中心火旋转，不过绝大多数人都认为星空在转，地球是中心，于是欧多克斯提出所有恒星都在一个以地心为中心的刚性水晶球面上。这种说法受到他的老师柏拉图的启发，柏拉图认为五个正多面体中有四个分别代表地球、水、火、气，第五个代表宇宙。

然而人们也早已注意到所谓的流浪星球，太阳和月亮每天东升西落，还有水木金火土五大行星，它们相对于背景恒星的位置每天都有变化。欧多克斯最早想到用26个转轴倾斜不同的球面来描述流浪星球，并认为它们只能做匀速运动。后来他的一个学生又把球面数量增加到33个。

柏拉图的另一个学生亚里士多德把球面数量增加到55个（其中6个其实并无必要），并认为有某种能量在推动天球旋转。亚里士多德是历史上第一位百科全书式的学者。他的写作遍及物理学、生物学、逻辑学、伦理学、美学、哲学和艺术等。他的物理学思想曾统治世界1500年，其要点是目的和位置，万物的运动都有目的并趋向它们应有的位置。天体都由以太（亦称第五种元素）组成，而月下有四种元素：地球、水、火和气在宇宙中心，他把运动分为两种，第一种是自然运动。对于天体，自然运动是匀速旋转，而月下元素是趋向宇宙中心运动，并按重量分层，水在下，火和气在上。因为月下诸元素的混合经常改变；又有第二种非自然或暴力运动，它由推动力引起，其速度正比于推动力，反比于重量和介质厚度。这有一个直接后果：“大自然厌恶真空”，也就是说，空间必须由什么东西填满。

后来的进展是：阿波罗尼奥斯引入均轮（中心在地球上）和本轮（中心在均轮上），以便更好地描述行星的运动，而后喜帕恰斯用本轮和均轮描述了太阳的运动。公元2世纪，托勒密发表了巨著《至大论》，该书堪称古希腊-罗马天文学的总结。

为了更好描述太阳系中天体的运动，托勒密引入了本轮在均轮上的非均匀运动。但是为了避免与传统的天体均匀运动理念冲突，他又独创均轮的偏心对位点5，使这种非均匀运动从对位点看起来是均匀的。他的天文学理论成为以后1500年中的主导理论。此后欧洲进入黑暗时期，古希腊文明被忘却，幸好阿拉伯人保存了希腊文化。10世纪以后，欧洲开始复兴，当时的大翻译运动把许多古希腊经典著作（有些通过阿拉伯文）译为拉丁文。这个时期的天文学，是托勒密地心说和亚里士多德物理学的天下。

也有不同声音，不过未受重视。前面已提到公元前6世纪毕达哥拉斯认为地球绕中心火旋转。阿里斯塔克在公元前3世纪提出过日心说和地球自转说。但真正的革命性改变，出现在16世纪中叶，波兰天文学家哥白尼在《天体运行论》中提出日心说，对统治了1500年的托勒密地心说提出了挑战。

其实，地球和太阳孰静孰动，是相对的。就像坐在平稳移动车船中的人，很容易认为周围环境在运动。但是哥白尼的日心说，对描述行星的运动至少有以下优势：

（1）对内行星和外行星的区分提供了一个自然的解释；

（2）不需要本轮，就可以对行星的倒退运动及其与亮度之间的关系，提供自然的解释；

（3）说明了行星的视运动与太阳的视运动之间的关系，这是托勒密系统的一大难点；

（4）设置了行星的确定次序，而托勒密却不能；

（5）发现了行星轨道大小与运行周期之间的联系。

不过他的理论也有神学上（违背了《圣经》中的地球静止说）、物理学上（违背了亚里士多德的运动理论）和天文学上（计算复杂，精度也未必好过托勒密理论）的障碍，而且要撼动一个似乎没有明显错误的老概念，谈何容易。

前两点现在看来当然不是问题，但当时也至关重要。另外还有一个重要原因是，为了解释星空变化和日落日出等现象，绝大多数人的直觉倾向于选择星空和太阳运动而不是地球运动。因此在《天体运行论》发表后几十年里，相信哥白尼理论的学者只有寥寥可数的七人[10]：哥白尼本人，他唯一的学生雷蒂库斯（Rheticus），雷蒂库斯的两个朋友，一位波兰主教，一位比利时鲁汶大学的教授，还有一位作家，而且最后这位作家后来又反悔了。

约50年后，马斯特林在德国图宾根大学任教，他可能是当时欧洲唯一信奉哥白尼理论的天文学教授。开普勒于1593年入学后成为他的学生，受到他的影响。开普勒于1596年出版了《宇宙的奥秘》，支持哥白尼理论。1600年受雇于第谷·布拉赫。一年后第谷去世，开普勒利用第谷积累的精确观测数据潜心钻研，于1609年和1619年分别出版了《新天文学》和《世界的和谐》，提出了行星运动三定律，并认为太阳是运动之源，彻底抛弃了托勒密天文学和亚里士多德物理学。他对哥白尼理论的改进使得对行星轨道的预测精度大大提高。

第谷也是天文学史中的一位重要人物。他是肉眼观测的最佳者也是最后一人，观测精度达到1'，比托勒密的数据的精度高一个数量级或更多。他认为恒星并非镶嵌在刚性球面上，而是处于流动介质中。但是第谷不相信地球环绕太阳转动。他的理由是：如果地球相对于恒星运动，那么我们应该能够观察到恒星周年视差，但他未观测到。其实视差是有的，后面会提到，但第谷低估了恒星与我们的距离，并且肉眼观测的精度毕竟有限。第谷提出的理论是日-地心说，即行星环绕太阳运行但太阳环绕地球运行。由相对运动的概念容易想到，两种计算的结果其实是一致的。

开普勒的同时代人中还有伽利略。伽利略在许多领域中都有重大贡献。在天文学方面，主要是改进望远镜观测到太阳黑子、木星四卫星和金星相位变化等，提出了惯性运动概念。他也相信哥白尼理论，1633年伽利略被宗教裁判所认定有罪也与此有关。

伽利略逝世后一年，牛顿诞生了。牛顿是科学革命的最主要人物，他认为天体之间的相互作用力与地球上的重力一样，从而天体在与距离平方成反比的引力作用下运行，由此容易导出开普勒三定律，如后文所述。牛顿在天文学上的另一大贡献是设计了反射式望远镜，避免了光的色散对观测造成的影响。另外，他提出的测量地球自转的方法，后来都得到验证。

（二）开普勒行星运动三定律及其证明

第一定律：行星轨道呈椭圆形，以太阳为一个焦点。

第二定律：从太阳到行星的半径向量在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律：公转周期的平方与椭圆长半轴的立方之比对于所有行星都是相同的。

开普勒定律是基于行星观测数据的经验定律，牛顿的伟大成就是根据他的万有引力定律和运动定律对开普勒定律在数学上给出了证明。证明过程并不复杂，具有中学物理和初等微积分知识的读者不难看懂。

1．第一定律的证明

在极坐标系中描述行星在椭圆轨道上的运动，如图6所示。

其中，质量为M的太阳位于椭圆的一个焦点上，取为极点；质量为m的行星在椭圆轨道上，它到太阳的距离是极半径r；于是总能量为

其中v是行星m的速度，G是引力常数。m的速度v有两个分量：径向分量，记作，以及与之垂直的切向分量rω ,ω (=)是瞬时角速度，其中θ示于图6。因为这两个分量是正交的，速度v的平方等于它们的平方和，而能量方程可以写成极坐标形式：

同样，因为是ν垂直于r的分量，我们可以写出m的角动量为

作变换，于是 。积分得到

但是，故

由方程(a)得到

又记

显然，r0和e都是常数。引入这两个常数的目的是使我们的答案可以立即被识别为椭圆，但我们还需要进一步运算。首先把方程(c)改写成

把它代入方程(b)中得到

它可以写成

而这正是原点在一个焦点上的椭圆的极坐标方程，其中r0是半正焦弦，e是偏心率。

2．第二定律的证明

在时间dt内行星移动了一小段dr。这个向量与太阳形成的小三角形（图6）的面积为

其中α是r与d r之间的角度(回忆起三角形的面积是 ab sin C) 。用向量积形式把这个面积写成垂直于三角形所在平面的伪向量dA，

运动扫过面积的速率因此是

进而，加速度为

我们知道，方向相同的两个向量的向量积为零，因此上式中第一项显然为零。又因为行星只受到太阳与行星之间的万有引力作用，因此它的加速度̈在太阳与行星的连线上，从而与r同线，因此上式中第二项也为零。于是扫过面积的速率为常数，第二定律证得。注意，这一定律对“中心力”作用下的任何运动都成立。

3．第三定律的证明

半长轴和半短轴分别为a和b的椭圆的面积为

其中，e是偏心率（我们知道b =，于是由方程(e)扫过面积的速率为

其中L是行星环绕太阳轨道的角动量，m是它的质量。轨道周期T就是扫过面积Atot所用的时间，

于是

还需要消去这个表达式中的L和e。由图6，对于椭圆有d+r0=2a，于是根据勾股定理得到

代入方程(d)中的r0，我们得到

于是我们可以把方程(f)写成

于是第三定律得证，顺便也得到了其中的万有引力常数G。

（三）地球公转和自转的证明

1．地球公转的证明

从直观上看，人们很难想象地球在运动。因此，对这一问题进行科学证明是非常必要的。那么，如何确认地球在公转呢？有一条黄金法则，就是所谓的恒星周年视差（parallax）。

实际上，行星并非真正镶嵌在一个很大的球面上。也就是说，不同恒星与地球的距离是不同的。我们观测到的行星的坐标，其实只是它们在一个很大的球面上的投影的坐标。

如果地球没有公转，那么每天同一时刻（消除地球自转的影响）观测到的恒星坐标视位置应该相同，不然会有微小差异，也就是在地球公转一周回到原先位置的一年中一直有变化，这就是周年视差。但是除非这颗恒星离我们很近，仪器精度非常高，周年视差是无法测量的。连肉眼观测第一人第谷，也做不到，他因此而不能接受日心说而自创地-日心说。

伽利略改进了望远镜并用于天文观测，使得这方面的努力得以继续。前面已经提到胡克对恒星视差的观测，弗拉姆斯蒂德也发表过类似结果。不过都因为数据不足而难以让学界信服。

半个世纪以后，英国天文学家布拉德莱（J. Bradley）及合作者，开始用精度达到1"和0.5"的望远镜观测，他们得到了许多可信的结果，但发现角度变化的模式不符合周年视差的规律。布拉德莱用地球转轴晃动假设成功地解释了这种现象，但即使考虑了这个因素，约化的数据仍不能提供有说服力的周年视差。后来又有人对双星进行观测或用更传统的测量恒星位置在天球上微小变化的方法，但均无功而返。

这样又过了100年，当大家都觉得永远不可能成功地测量周年视差时，德国天文学家贝塞尔（F. W. Bessel）突然在1838年和1839年连续发表了三组数据。他发现天鹅座61的周年视差为0.3136"，这也说明了它与我们相距约11光年。另外两个结果分别是：比邻星（最近的恒星）1'，约4.25光年；织女星0.261"，约25光年。

2．地球自转的证明

人们对地球的自转在直观上比较容易接受，不过仍需要进行科学证明。

第一种证明方式是牛顿建议的。他通过计算得到地球的极半径与赤道半径之差为17英里。18世纪40年代，法国科学家测量得到的数据为13英里。

第二种证明方式也是牛顿建议的。他指出，由于地球的自转，从高处抛下的物体，会略微偏向东方。后来有许多人做了这个实验，其中最令人信服的是，1902年在哈佛大学做的实验，从高处抛下948个球，发现偏差为向东0.15厘米，与牛顿预测的0.18厘米颇为接近。也有些实验发现有略微向南的偏差0.005厘米，但这显然是因为精度不够而引起的。后来在其他实验中，也发现过或是略微向南或是略微向北的趋势。

关于地球自转最著名的验证，当属1851年法国物理学家傅科（J.-B.-L. Fou⁃cault）在巴黎天文台首次展示的傅科摆。傅科在加工实验设备时，注意到一根振动的金属杆，它即使被夹在车床卡盘上转动时，也会保持其振动平面不变。傅科随即想到，这可以用来证明地球的自转。设想在北极放一个摆，那么因为地球的自转，在地面上的人看来，摆动平面会缓慢转动，24小时转一圈。容易理解，在赤道上的摆就没有这种转动现象。也不难证明，把摆安装在其他纬度上，转圈的时间延长为24小时/sin φ，这里φ是所在地的纬度。摆越长，摆锤越重，悬挂端的摩擦力越小，摆动周期就越长，观察就越方便。

第一台傅科摆摆长67米，摆锤重28千克。目前在世界各地许多大学和自然博物馆里，都安装有傅科摆，受到许多访客钟爱。人们甚至在建设南极科考站时，也利用脚手架试验了一个摆长33米，摆锤重25千克的傅科摆，确认了其旋转周期约为24小时。

（四）一些天文学术语

行星的轨道是椭圆这个概念，是开普勒在本书出版前不到20年提出的，当时几乎每个人都相信行星轨道是圆形的，并认为行星在以该圆为大圆的球上运行。这个球被称为天球，最早由托勒密提出。

开普勒往往用三个同心圆来代替椭圆，与之相应的天球是近日天球、远日天球和平均天球。椭圆的偏心率是有严格定义的，它等于（长轴―短轴）/长轴。他又注意到，诸行星的椭圆轨道并不在一个平面上。本书中常用eccentric来描述这条轨道。以前译为“偏心圆”，本书中改译为“偏心轨道”。

在哥白尼之前，人们一直认为行星环绕地球运动，对运动的视角的观测也是以地球为中心的，而现在要以太阳为中心，故需冠以“真”（true）这个前缀，例如“真周日弧”。这里的“周日”（diunal）指一天内的行程，相应的“周年”（annual）指一年内的行程。另外用“视”（apparent）这个前缀来表示以轨道的几何中心（平太阳）为中心，但有时也说，以太阳为中心（真太阳）的“视周日弧”，于是它就等同于“真周日弧”。

本书常常提到轨道上的拱点（apsides），即近日点（pelihelion）和远日点（aph⁃elion）。极端运动（extreme movement），指行星的在近日点的（最快）运动和在远日点的（最慢）运动，这里的运动指前面所述行星的真周日弧。有时也称为“较高的运动”和“较低的运动”。

本书中也常常比较两个极端运动：相向的（converging,approaching）和相背的（diverging,receding）。前者指两颗行星在最接近的两个拱点（即上方行星的近日点和下方行星的远日点）处的运动，后者指两颗行星的在最远离的两个拱点（即上方行星的远日点和下方行星的近日点）处的运动。顺便指出，无论是相向的还是相背的运动，两颗行星之间距离的变化都没有明确的取向，而且这与行星的公转方向无关。

以太阳为中心向外的行星，分别为水星、金星、地球、火星、木星、土星。在本书中，相对靠内的行星，称为“下方行星”（lower planet）；靠外的行星，称为“上方行星”（upper planet）。有时也分别称它们为“较高的行星”和“较低的行星”。另外，称地球以内的金星和水星为“内行星”（inferior planet）；地球以外的火星、木星和土星为“外行星”（superior planet）。“内行星”和“外行星”这两个词在瓦里斯的英译本[1]中未出现，在邓肯等人的英译本[2]中出现几处，但从上下文看，指的还是“下方行星”和“上方行星”。

本书中用了许多简称，其意义稍加思索就会自明，为尊重原作，未予修改，只在文中首次出现处加注，并在这里汇总供读者查阅。

·轨道之比（proportion of the orbits），指轨道特征尺寸（例如椭圆长轴）之比；

·运动（motion），指运动距离（即行程），以弧的度数为单位；

·平均距离（average distance），指行星到太阳的平均距离，也常常简写为距离；

·多面体的球之比，指多面体的内切球与外接球直径比。

还需要解释一下在第三章（第32页）和第四章（第51页）用到的“平近点角”这个概念，相关的概念还有“真近点角”和“偏近点角”，以及开普勒方程。这些角在图7中显示。

它们之间的关系是（其中e是椭圆轨道的偏心率）：

其中第二式称为开普勒方程。

真近点角与偏近点角之间的关系由图7可以自明，真近点角与平近点角之间的关系如图8所示：真近点角对应的圆扇形与整圆面积之比，如同平近点角对应的圆扇形与整圆面积之比。

（五）一些天文学数据

本书用到了许多行星参数的观测数据，特别是与运动相关的数据。肉眼观测数据，其实主要就是行星在固定恒星背景上的坐标，一般是球面坐标系中的经度和纬度。古人也制造了许多仪器，使观测和推算更为方便。有了坐标数据，行星的运动周期就可以根据它回到同一位置所需的时间而获得。本书中用得最多的数据，是周日运动或称周日弧，即行星在一天中坐标的变化，以度计量。在日心系统中要考虑变换到以真太阳为中心。

此外，还需要通过测量地球、太阳和行星的角度，用三角方法计算行星到太阳的相对距离（以日地距离为参考），即轨道的大小。有了周期和轨道大小，就可以算出平均速度。开普勒使用的经过加工的第谷观测数据，见第四章表4.1和表4.3—4.5。我们在本导读的表8给出了这些数据与现代数据的对比，现代数据基本上从百度和维基百科都能查到。从表8中可以看出，四百多年前的数据已经相当精确。表9则列出了相关的现代数据和其他重要数据。

五、五种正多面体的几何性质

正多面体在古希腊就广为人知，最早记载于柏拉图的《蒂迈欧篇》，欧几里得《几何原本》[3]第十三卷对之有详细讨论。柏拉图用四种正多面体来表示大自然的四种元素，剩下的一个十二面体表示整个宇宙，如图9所示。本书中，开普勒试图把这些正多面体，镶嵌到行星轨道所在的天球中。

本书用到的是五种正多面体的几何性质，总结在表10中。其中的数据可以帮助读者理解本书中的相关陈述。

六、开普勒在天文学方面的主要成就

开普勒在天体物理学、天文学、音乐、数学等方面都有研究和著述，其中最有名的当推《世界的和谐》，这里译出的是该书的第五卷。著名物理学家霍金在21世纪初选了天文学和物理学的五本经典著作，结集为《站在巨人的肩上》（ On the Shul⁃ders of Giants ）出版，包括哥白尼的《天体运行论》、伽利略的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》、开普勒的《世界的和谐》第五卷、牛顿的《自然哲学之数学原理》和爱因斯坦的《相对性原理》。由此也可见《世界的和谐》在科学史上所占地位之重要。

在天文学方面，开普勒一生都在思考以下三大问题[6]：

1．为什么只有六颗行星？

2．为什么它们到太阳的距离是这样的？

3．为什么它们在距离太阳较近的轨道上运动较快，而在较远的轨道上运动较慢？

前两个问题，最后被证明并无规律可循；而第三个问题，可以说是科学史上最重要的问题之一。正是在对这些问题的思考和研究中，开普勒第一个得出了天体运动有规律可循的结论，总结出著名的行星运动三大定律：

第一定律：行星轨道呈椭圆形，以太阳为一个焦点。

第二定律：从太阳到行星的半径向量在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律：公转周期的平方与椭圆长半轴的立方之比对于所有行星都是相同的。

尽管当时这是根据观测数据得到的经验定律，但它们推动了牛顿的进一步研究：把重力和惯性定律应用于天体，并发展出相应的数学工具从而予以证明。

还有十分重要的一点是，开普勒用“真太阳”代替了“平太阳”。在托勒密的地心说中，计算行星轨道的参考点，是太阳平均轨道的中心，称为“平太阳”。哥白尼的日心说虽然认为地球绕太阳转，但计算行星轨道的参考点，是地球轨道的中心，仍然是“平太阳”。

开普勒指出，行星在环绕太阳的椭圆轨道上运行，太阳在椭圆的一个焦点上，因此他得以用“真太阳”作为计算的参考点，简单且精确地计算出行星的轨道。因为“真太阳”概念的重要性，不少人称之为零定律。也有人建议，把它与行星运动三大定律合在一起称为“四定律”[9]。

开普勒的另一个重要贡献，是他打破了天上和月下（地球上）物理的分割，认为地球和诸行星在同样的力作用下运动。他设想它们都受到来自太阳的力，离太阳越近力就越大。这是科学史上对天体现象物理原因的第一次科学探索。

在《宇宙的奥秘》（1596）中，开普勒指出，哥白尼的学说能最好地解释行星的运行，而且最简单，因此，按照奥卡姆剃刀原理（若其他方面相同，选择最简方案）是当然的选项。在该书的最后一章中，他认为，太阳是行星运动之源，即太阳对行星有作用力。在《新天文学》（1609）中，他提出了行星运动第一定律和第二定律。在《世界的和谐》（1619）中，他提出了行星运动第三定律。开普勒的其他重要天文学著作，还有《论蛇夫座足部的新星》（1606）、《哥白尼天文学概要》（五卷）（1615—1621）及《鲁道夫星表》（1627）等。

七、本书翻译札记

《世界的和谐》（Harmonic Mundi）最初是用拉丁文写成的，于1619年出版。现代语言的译本，开始于19世纪末20世纪初。曾有多种德语和英语译本。最完整的开普勒全集（拉丁语和德语），于1938年开始编辑出版。其中1—12卷为其科学著作，13—18卷为其书信，19—21卷为其手迹原稿，22卷为索引；《世界的和谐》是其中的第6卷。

目前常见的《世界的和谐》英译本有两种，一种收录于1952年出版的“西方世界名著”第16卷[1]中，它是瓦里斯（C. G. Wallis）于1939年的译本，只有第五卷，其中有音乐家卡特（E. Carter Jr.）写的关于乐理方面的注释；另一种由美国哲学会于1997年出版[2]，可在“谷歌读书”中找到全部五卷，其译者为邓肯（A. M. Duncan）、艾顿（ E. J. Aiton）和菲而德（ J. V. Field），其中有较多数学方面的注释。本中译本主要根据瓦里斯的版本译出，但也参考了邓肯等人的译本，并且选择性地译出两个英译本中的一些注释。汉译者也添加了不少注释。

这本书需要下功夫研读，除了文字较晦涩和需要一些天文学知识以外，其中还有大量与音乐乐理相关的内容和术语，与当今使用的术语有一些差别。重译本书时，汉译者特别对常用的关键术语进行了探讨，使译文更加精准和易读，举例如下。

1．本书用到的主要数学概念是正多面体，英译本中这个词为regular solid fig⁃ure，以前直译为“正立体形”。solid figure的标准译名确实是“立体形”，它的内涵是任何立体形状。但“正立体形”并无明确的数学定义，故译者直接译为“正多面体”。另外，本书中常常用到简称figure或solid，相应地译为“多面体”或“立体”，其实在大多数情况下，它们指的就是正多面体。顺便指出，现代英语中“正多面体”一般写成convex regular polyhedron，有时也略去convex。英语中也常将之写为Pla⁃tonic solids，中译名为柏拉图立体。

2．在现代数学语言中，比（ratio）与比例（proportion）是定义明确的两个不同概念，在我国小学数学辅导书[3]中可以找到以下说明：

两个数的比表示两个数相除。比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以比的后项得到的商，叫作比值。

表示两个比相等的式叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。

比例有一种常见的特殊情况是两个内项相等，叫作连比例，这个内项被称为比例中项。但在文献中，“比”与“比例”两个概念有时发生混淆。问题最早来自欧几里得的《几何原本》。欧几里得常常用“比”（ratio）这个词指比例，有时也有相反的情况。《几何原本》的英文版译者希思（T. L. Heath）对此有以下评论：

我们现在有一系列有关比和比例的变换。第一个是……alternately，它最好是用四项的“比例”来描述，而不是用一个“比”。但欧几里得在定义12—16中用“比”定义所有术语，也许是因为用“比例”来定义它们会显得应当对各种比例变换的合理性予以证明。

有关这个问题，也请参见北京大学出版社《几何原本》［5］的译后记。

不过，“行星轨道之间的匀称比例关系”和“来自平面正多边形的和谐比例”，其中的“比例”只是泛指相对尺寸，并无数学中“比例”的内涵。瓦里斯的英译本多半采用了“ratio一词，但在邓肯等人的英译本中多半采用了proportion一词。我们在译文中关注了“比”与“比例”的正确应用。

3．拉丁文版原书大量出现harmonia（形容词harmonic），直接对应的英语单词是harmony（形容词harmonic），在瓦里斯的英译本中也译为concord，它的基本意义是“和谐、协和”，当用于描述行星运动（行程）之比及其他相关比值时，译为“成和谐比”似乎更为合适。作为音乐术语则常译为“和声”和“协和音程“。我们知道，和声是同时发出的两个或多个音，在第七章中涉及多个行星对应的多个音时用到，虽然对应行星的所述运动很少同时发生。（另有和弦，至少包括三个音，但不一定同时发出，这里未用。）本书中最多提到的是成和谐比的两种运动对应的两个音之间的音程，这是“协和音程”，例如大家熟悉的八度和五度等。读者只需要记住，这其实就是指出现了1:2,2:3,3:4,3:5,4:5,5:6,5:8这七种全部由1,2,3,4,5,6,8这几个小整数构成的比就可以了，见前文表4。

对harmony究竟采用哪个译名有相当大的主观性，在很大程度上凭语感定夺，目标是准确通顺地向读者传递作者的原意。此外，对其实不是协和音程的两个音之间的小音程如第西斯（diesis），在瓦里斯的英译本[1]中也译为concord，但在邓肯等人的英译本中写作melodic inverval，我们据之译为“旋律音程”。

4．在开普勒所写的比式中，前后两项的位置是不重要的。对他而言，2: 3与3: 2是一样的。但他计算比值时，总是把较大项除以较小项，因此比值永远大于1。例如5:8大于2:3。

导读（二）参考文献

[1] Ptolemy,Copernicus,Kepler. Great Books of the West World（Vol. 16）. Trans⁃lated by C. G. Wallis [M]. Chicago: Encyclopedia Britannica,Inc.,1952.

[2] J. Kepler. The Harmony of the World . Translated by A. M. Duncan, E. J. Aiton, J. V. Field [M]. Philadelphia: American Philosophical Society,1997.

[3] 胡文杰．小学数学知识大全[M]．广州：广东人民出版社，2018.

[4] Euclid. The Thirteen Books of The Elements. Translated with introduction and com⁃mentary by Sir Thomas L. Heath. Second Edition Unabridged（Vol.Ⅰ,Vol.Ⅱand Vol.Ⅲ）[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1926.

[5] 欧几里得．几何原本[M]．程晓亮，凌复华，车明刚，译．凌复华，审校．北京：北京大学出版社，2023.

[6] D. K. Love. Kepler and the Universe. How One man Revolutionized Astronomy [M]. Amherst,N.Y.: Prometheus Books,2015.

[7] R. Miller. Recentering the Universe ,the Radical Theories of Copernicus ,Kepler , Galileo,and Newton[M]. Minneapolis:Twenty-First Century Books,2014.

[8] Stantley Sadie. The New Grove Dictionary of Music and Musicians（29 volume set）[M]. Oxford: Oxford University Press,2004.

[9] 王国强．新天文学的起源——开普勒物理天文学研究[M]．北京：中国科学技术出版社，2010.

[10] Timblake and Wallace. Finding Our Place in the Sola System [M]. Cambridge: Cam⁃bridge University Press,2019.

[11] 温伯格．给世界的答案[M]．凌复华，彭婧珞，译．北京：中信出版社，2016.

1日地绝对距离的精确数值，最早是根据1769年金星凌日时测得的太阳视角计算得到的1.52亿～1.54亿千米，最新数据是1.4960亿千米。

2一般认为，望远镜是1608年由荷兰的眼镜店主人汉斯·利普希（Hans Lipperhey）发明的，由两片凸透镜组成的。这个消息很快在欧洲传播，伽利略也于1609年开始自行制造，使放大倍数从几倍提高到几十倍，将之用于天文观测，立即取得了许多重要结果，包括发现月球表面凹凸不平并有山脉和火山口、木星的四颗卫星、太阳中的黑子运动以及得出太阳自转的结论。开普勒改进了设计，用凹凸透镜代替了两片凸透镜，使望远镜性能有所提高。这样的望远镜后来由别人制成，用于观测并确认了太阳中黑子的存在。此后的一个重大改进是牛顿设计的反射式天文望远镜。

3此外还有7颗较小的矮行星：谷神星、冥王星（5颗卫星）、卡戎星、妊神星（2颗卫星）、鸟神星、阋神星（1颗卫星）和共工星。——译者注

4卫星数量：地球1颗、火星2颗、木星82颗（其中最大的四颗由伽利略发现）、土星79颗（都很小，组成一个光环）、天王星27颗、海王星14颗。——译者注

5古人认为行星只能在球面上做匀角速运动，因此均轮绕地球做匀速运动；行星在本轮上做匀速运动，而本轮的中心在均轮上。托勒密注意到非匀速运动与实验数据更符合，但他不愿破坏均匀运动的规则，因此他让均轮绕一个虚拟点做匀角速运动，这个虚拟点与地球关于均轮中心对称。后来阿拉伯天文学家称之为equant point。这个词尚无统一中文译名，译者根据上述对称性称之为“对位点”[11]。清华大学吴国盛教授对此有专文探讨，列举了九种不同的译名，他建议译为“偏心匀速点”。如上所述，equant的内涵很广，任何中译名都只能包含其一部分。——译者注